मान लीजिए f(x) = intlimits_0^{x^2} {(t - 1)(t | vedclass

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Question

(B) दिया गया है $f(x) = \int\limits_0^{x^2} {(t - 1)(t - 4)(t - 9)} dt$.अवकलन के लिए लेबनीज़ नियम का उपयोग करने पर,$f'(x) = (x^2 - 1)(x^2 - 4)(x^2 - 9

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$f'''(x) = 0$ के $2$ भिन्न धनात्मक हल हैं।

Vedclass · Answer

(B) दिया गया है $f(x) = \int\limits_0^{x^2} {(t - 1)(t - 4)(t - 9)} dt$.अवकलन के लिए लेबनीज़ नियम का उपयोग करने पर,$f'(x) = (x^2 - 1)(x^2 - 4)(x^2 - 9) \cdot \frac{d}{dx}(x^2) = 2x(x^2 - 1)(x^2 - 4)(x^2 - 9)$.$f'(x) = 2x(x - 1)(x + 1)(x - 2)(x + 2)(x - 3)(x + 3)$.क्रांतिक बिंदु $x = 0, \pm 1, \pm 2, \pm 3$ हैं,जो कुल $7$ भिन्न बिंदु हैं।$f'(x)$ एक विषम फलन है,इसलिए $f''(x)$ एक सम फलन है और $f'''(x)$ एक विषम फलन है।चूंकि $f'(x)$ $7$ घात का बहुपद है,इसलिए $f'''(x)$ $5$ घात का बहुपद है।चूंकि $f'''(x)$ एक विषम फलन है,इसलिए $x = 0$,$f'''(x) = 0$ का एक मूल है।रोल के प्रमेय के अनुसार,$f'(x)$ के किन्हीं दो मूलों के बीच $f''(x)$ का कम से कम एक मूल होता है। चूंकि $f'(x)$ के $7$ मूल हैं,इसलिए $f''(x)$ के $6$ मूल होंगे।इसी प्रकार,$f'''(x)$ के $5$ मूल होंगे। चूंकि $f'''(x)$ एक विषम फलन है और $x=0$ एक मूल है,शेष $4$ मूल मूलबिंदु के सापेक्ष सममित होंगे,अर्थात $2$ धनात्मक और $2$ ऋणात्मक मूल।अतः,$f'''(x) = 0$ के $2$ भिन्न धनात्मक हल हैं।

मान लीजिए $f(x) = \int\limits_0^{x^2} {(t - 1)(t - 4)(t - 9)} dt$,तो:

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मान लीजिए $f:(0, +\infty) \to \mathbb{R}$ और $F(x) = \int_0^{x^2} f(t) dt$ है। यदि $F(x) = x^2(1 + x)$ है,तो $f(4)$ का मान ज्ञात कीजिए।

$\int_{-5}^5 x^4\left(25-x^2\right)^{5 / 2} d x=$

$\lim _{x \rightarrow 0} \frac{48}{x^4} \int _{0}^{x} \frac{t^3}{t^6+1} dt$ का मान $.......$ है।

$\int_{-\pi / 2}^{\pi / 2} \sin ^4 x \cos ^6 x \, dx$ का मान ज्ञात कीजिए।

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